Editorial for Nhiệm vụ Vaper
Remember to use this editorial only when stuck, and not to copy-paste code from it. Please be respectful to the problem author and editorialist.
Submitting an official solution before solving the problem yourself is a bannable offence.
Submitting an official solution before solving the problem yourself is a bannable offence.
Để đơn giản hóa biểu thức
a \times (a + 1) \times \cdots \times b \div c \times (c + 1) \times \cdots \times d
thành biểu thức tương đương
\frac{(c-1)! \times b!}{(a-1)! \times d!}
Với mỗi số nguyên tố p , định nghĩa hàm v_p(x) là số mũ lớn nhất của p chia hết cho x .
Vế trái chia hết cho vế phải khi và chỉ khi: với mỗi p , ta có v_p của vế trái không lớn hơn v_p của vế phải.
Dễ thấy rằng
v_p(xy) = v_p(x) + v_p(y)
Bây giờ ta chỉ cần xác định v_p(x!) .
Mệnh đề: Ta có
v_p(x!) = \left\lfloor \frac{x}{p} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{x}{p^2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{x}{p^3} \right\rfloor + \cdots
Chứng minh: Hạng tử đầu tiên đếm các bội số của p , hạng tử thứ hai đếm các bội số của p^2 , và cứ thế tiếp tục.
Giải pháp như sau: tìm tất cả các số nguyên tố đến 10^7 , triển khai công thức v_p(x!) , và kiểm tra bất đẳng thức tương ứng của v_p với mỗi số nguyên tố.
Comments